Ayuda para resolver sistemas de ecuaciones con condicionales

arturo osorio · el 28 de marzo

Hola, soy estudiante de ingeniería civil y novato en excel, por favor que alguien me ayude, necesito hacer un trabajo para la universidad que consiste en esto:

Se tienen 5 valores de entrada b, h, f'c, fy, M. Se necesita que entregue 4 valores de salida Kd, fs, fc, As. Para resolver esto se tienen 3 diferentes relaciones, estas son:

I) fc/(47000*Kd*(fc^(0,5)) = fs/(2,1*10^(6)*(d-Kd))

II) fc*Kd*b/2 = fs*As

III) fc*Kd*(h-5-(kd/3)*b/2 = M

Además de esto se tienen valores máximos para fs y fc, fy/2 y f'c*0,4 respectivamente. Como se busca optimizar se impone que fs o fc sean iguales a su valor maximo y ahi tengo una cuarta ecuación, se puede imponer esto en cualquiera de los 2 pero al resolver las 4 ecuaciones debo verificar que el f que no use no exceda su valor maximo, si esto ocurre debo repetir el procedimiento pero usando el otro f igual a su valor maximo. Cuando se hace a mano, en general primero uso la ecuación 4, después 3, despues 1 y al final 2.

Como hago esto?, todo tipo de ayuda sirve, como se hacen las condicionales o como resolver los valores incognitos?. De antemano muchas gracias.

fazz016 · el 28 de marzo

Hola @arturo osorio

Puedes desarrollar el ejercicio con datos en duros en una planilla Excel considerando:

Referencia de la nomenclatura fc? kd? ...
Dar valores a los nomenclatura
Instructivo o pasos aplicables para dar con el resultado, entiendo que sabes resolverlo con lápiz y papel pero lo que necesitas también es hacerlo en Excel.

De esta manera para las personas que no cuente con conocimientos de ingeniería pero si de Excel podamos ayudarte

Saludos

arturo osorio · el 28 de marzo

Voy a explicarlo más a fondo, pero si hace muy largo pueden ver el ejemplo y ver la aritmética utilizada solamente.

Lo que está haciendo es que se tiene una viga de hormigón armado( hormigón y acero) la que tiene una sección transversal. Esta viga puede estar siendo flexionada por algún tipo de fuerza (el valor de esta flexión es M), lo que incide en la sección transversal de la viga ( de ancho b y alto h) y va a tener una zona que va a estar siendo alargada (aguantada por el acero, ya que el hormigón no es capaz de resistir alargamiento) y otra comprimida (hormigón). Estas 2 zonas van a estar limitadas por un eje neutro donde no hay ni alargamiento ni compresión, la distancia medida de arriba hacia abajo, hasta el eje neutro es kd, la cuál se debe calcular.

f'c y fy son valores sacados de tablas que al meterlos a una pequeña formula te indican lo máximo que el hormigón (compresión) y el acero (alargamiento) pueden aguantar respectivamente, dependiendo el tipo de acero o hormigón que sean. Se requiere calcular el valor que en la situación dada está resistiendo el hormigón a compresión (fc) y el acero al alargamiento (fs), estos a su vez también dependen del área del hormigón (conocida, se saben los valores de b y h) y la del acero (As, se debe calcular). Por lo que al final tenemos 5 valores conocidos que se deben ingresar, pero también tenemos 4 valores desconocidos (Kd, fs, fc, As) por lo que se requiere de 4 ecuaciones para poder ser resueltas. Como se habla de estructuras estáticas, la viga no se mueve ni gira y por equilibrio de fuerzas se llegaran a las ecuaciones 2 y 3, pero a su vez la sección de la viga se deforma de forma elástica y lineal, por lo que se puede hacer relación de triángulos para tener otra ecuación, la 1.

Por ultimo, como se busca maximizar la resistencia, se impondrá que fc o fs sean iguales a su resistencia máxima posible, ejemplo digo que fc=resistencia máxima (f'c*0,4), con esto resuelvo las otras 3 ecuaciones y habré calculado un valor para fs, sin embargo si el valor calculado de fs es mayor a su resistencia máxima, debo repetir el procedimiento pero esta vez imponiendo que fs sea igual a su resistencia máxima(fy/2), resolver las otras 3 ecuaciones y verificar que fc sea menor que su resistencia máxima.

Ejemplo:

b= 20 , h = 60 , M = 1 millon, f'c = 250, fy = 4200.

1) Suponer que fc = f'c*0,4 =100

2) Voy a la ecuación 3.

fc*kd*(h-5-(kd/3)*b/2 = M

100*kd*(60-5-(kd/3)*20/2 = 1000000

=> (1000/3)*(kd^2) - 55000kd + 1000000 = 0

kd= 144,195; kd= 20,805

Como es una ecuación cuadratica, tendremos 2 soluciones, pero como kd es una distancia dentro de la sección de la viga, 0<kd<h=60

=> kd = 20, 805

3) Ecuación 1

fc/(47000*kd*(fc^(0,5)) = fs/(2,1*10^(6)*(d-kd)); olvide mencionar que d= h -5

100/(47000*20,8*(100^(0,5)) = fs/(2,1*10^(6)*(55-20,8))

=> fs= 734,37

4) Verificar que fs < fy/2

fy/2= 2100>734, 47, como el valor es menor a la resistencia maxima proseguimos a calcular As, pero en el caso que fs hubiera sido mayor a 2100, vuelvo al paso 1 pero suponiendo que fs=resistencia maxima = fy/2 y repetir procedimiento verificando al final si fc<fc*0,4 en caso que de nuevo falle, la viga estaría mal diseñada (b y h) y se acaba el problema.

5) Ecuación 2

fc*Kd*b/2 = fs*As

100*20,8*20/2=734,37*As

=> As = 28,33

Espero ahora si, se haya entendido